高中階段，大家接觸的應該只有簡單的和諧運動，又稱簡諧運動。簡諧運動是有週期性的來回擺動，運動軌跡也不是特別複雜，但是莫名地，它就是高中物理最難的篇章之一。
我將這個單元分為四段：一般簡諧(單一質點的運行)，水平彈簧，個人認為最難的鉛直彈簧，以及小角度的單擺。Part1會介紹一般簡諧運動，而 Part2會將後面的一一介紹。
一般簡諧：
這應該是最單純可愛的一種簡諧運動了。它沒有任何附加條件，也沒有探討外力的來源。題目只跟你說「有一質點正在進行簡諧運動」，是個紮紮實實的觀念，也是為未來的其它種簡諧奠定基礎的最好方式。
首先，簡諧運動有幾個基本的定義跟物理量：
★定義：一個固定週期，固定振幅，受力方向恆指向中心點(平衡點)，受力量值則和位移成正比，是等速圓周運動在直線上的投影。
★圖形:
★物理量:
我將這個單元分為四段：一般簡諧(單一質點的運行)，水平彈簧，個人認為最難的鉛直彈簧，以及小角度的單擺。Part1會介紹一般簡諧運動，而 Part2會將後面的一一介紹。
一般簡諧：
這應該是最單純可愛的一種簡諧運動了。它沒有任何附加條件，也沒有探討外力的來源。題目只跟你說「有一質點正在進行簡諧運動」，是個紮紮實實的觀念，也是為未來的其它種簡諧奠定基礎的最好方式。
首先，簡諧運動有幾個基本的定義跟物理量：
★定義：一個固定週期，固定振幅，受力方向恆指向中心點(平衡點)，受力量值則和位移成正比，是等速圓周運動在直線上的投影。
★圖形:
- 半徑(R): 一端點和中心距離即為R，為運動過程中最大的位移量
- 週期(T): 為一次完整的簡諧運動(從某一點出發並且回到同一點)所花費的時間
- 角頻率(ω): 為一簡諧運動於參考圓上的角速度，會正比於簡諧運動的頻率並且反比於週期，關係式為ωT=2π，故稱角頻率
- 位移(x): 為進行簡諧運動的物體本身與中心點的距離
- 速度(V): 為進行簡諧運動本身的物體之速度，距離中心點越近則越大，反之亦然
- 加速度(a): 為進行簡諧運動本身的物體之加速度，距離平衡點越近則越小，與速度恰好相反
這樣，應該對於簡諧運動有基本的認識吧？再來，我們要探討的是三個最重要(請讀：會考的)的物理量：位移，速度，以及加速度！
水平簡諧運動
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位移(x)
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速度(v)
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加速度(a)
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數學式
| Rcosθ=Rcos(ωt) | -Vsinθ -Rωsin(ωt) | -ω²Rcosθ -ω²Rcos(ωt) |
位於端點的值
| +R or -R | 0 | -ω²R or +ω²R |
位於平衡點的值
| 0 | +Rω or -Rω | 0 |
我們物理讀了這麼久，大概可以猜測出極端值(最大最小)通常會發生在極端處。沒錯，位移與加速度在端點時有最大值(其中正負為方向，對值來說是沒有影響的)，而速度則是在其它兩者皆為零的平衡點有最大值Rω。
再者，數學式中，可以很明顯的看出θ可以被ωt取代，這是因為我們大家熟知的 x=vt 也可以被運用在角度上喔！θ=ωt (角度=角速度乘以時間)是在求ω時的大好工具。
最後，我們回到極值。為什麼速度的極大值會發生在平衡點，而不是跟加速度跟位移一樣在端點有最大值？
我想，大家都知道簡諧運動中的受力/加速度是指向中心的。從端點到平衡點的過程，力是與速度同向的，而一過中心之後，加速度即會與速度反向。這樣，合理的想像，中心點一定是最高值(向中心時加速，離中心時減速)。
註：如果還有甚麼問題，歡迎在留言提問喔！
再來，用一個觀念題來補齊大家對於簡諧運動的認知。
Ex1: 下列有關簡諧運動的敘述，何者正確？
(A)平衡點所受合力為零，速度最大 (B)端點加速度最大，但速度為零 (C)愈接近平衡點，加速度量值愈小 (D)速度恆與加速度方向相反 (E)除平衡點外，受力和位移同方向 (F)若一物體受力大小與位移成正比，則物體必做簡諧運動 (G)受力方向和加速度方向皆指向平衡點 (H)等速圓周是一種簡諧運動 (I)為一種變加速度運動 (J)簡諧運動的軌跡為直線
這題有一點燒腦，是吧？沒關係，解答將一一說明。
解：(A)(B)(C)(G)(I)(J)
(A)正確，平衡點加速度為零，因此合力為零 (B)正確 (C)正確，越接近平衡點，θ值越接近0，而cosθ也會增加。加速度的數學式-ω²Rcosθ讓我們得知cosθ值越大，加速度越小，故得證(勸各位將結果記起來，這樣就可以不用每次重新推導) (D)錯誤，從端點到平衡點的過程，力是與速度同向的，受力也是一樣 (E)錯誤，位移方向即速度方向 (F)不一定，等加度運動若有固定週期也可能成立 (G)正確 (H)錯誤，簡諧運動是等速圓周運動在直線上的投影，必為直線運動 (I)正確，加速度非固定 (J)正確
再來，我們用一題計算題來體驗一下簡諧運動的數學式是如何被運用的吧～
Ex2: 一物體在進行簡諧運動，其位移的數學式為 x=6cos(4t)，則求 (1)週期 (2)最大速度 (3)最大加速度 (4)物體位於平衡點和端點之間時的速度和加速度量值
這一題能理解，我想，往後應該就很好銜接了。
解: (1)π/2 secs (2)24 m/s (3)96 m/s² (4)12√3 m/s，48 m/s²
首先，我們從式子可以判斷R=6，而ω=4。週期T和ω會成反比，關係式為ωT=2π。第一題因此得解。最大速度應為 Rω，值為 24。最大加速度應該為 Rω²，為96。
我想，最大的問題應該出在最後一題。平衡點跟端點正中間要怎麼運算呢？請看下圖~
我想，大家都知道簡諧運動中的受力/加速度是指向中心的。從端點到平衡點的過程，力是與速度同向的，而一過中心之後，加速度即會與速度反向。這樣，合理的想像，中心點一定是最高值(向中心時加速，離中心時減速)。
註：如果還有甚麼問題，歡迎在留言提問喔！
再來，用一個觀念題來補齊大家對於簡諧運動的認知。
Ex1: 下列有關簡諧運動的敘述，何者正確？
(A)平衡點所受合力為零，速度最大 (B)端點加速度最大，但速度為零 (C)愈接近平衡點，加速度量值愈小 (D)速度恆與加速度方向相反 (E)除平衡點外，受力和位移同方向 (F)若一物體受力大小與位移成正比，則物體必做簡諧運動 (G)受力方向和加速度方向皆指向平衡點 (H)等速圓周是一種簡諧運動 (I)為一種變加速度運動 (J)簡諧運動的軌跡為直線
這題有一點燒腦，是吧？沒關係，解答將一一說明。
解：(A)(B)(C)(G)(I)(J)
(A)正確，平衡點加速度為零，因此合力為零 (B)正確 (C)正確，越接近平衡點，θ值越接近0，而cosθ也會增加。加速度的數學式-ω²Rcosθ讓我們得知cosθ值越大，加速度越小，故得證(勸各位將結果記起來，這樣就可以不用每次重新推導) (D)錯誤，從端點到平衡點的過程，力是與速度同向的，受力也是一樣 (E)錯誤，位移方向即速度方向 (F)不一定，等加度運動若有固定週期也可能成立 (G)正確 (H)錯誤，簡諧運動是等速圓周運動在直線上的投影，必為直線運動 (I)正確，加速度非固定 (J)正確
再來，我們用一題計算題來體驗一下簡諧運動的數學式是如何被運用的吧～
Ex2: 一物體在進行簡諧運動，其位移的數學式為 x=6cos(4t)，則求 (1)週期 (2)最大速度 (3)最大加速度 (4)物體位於平衡點和端點之間時的速度和加速度量值
這一題能理解，我想，往後應該就很好銜接了。
解: (1)π/2 secs (2)24 m/s (3)96 m/s² (4)12√3 m/s，48 m/s²
首先，我們從式子可以判斷R=6，而ω=4。週期T和ω會成反比，關係式為ωT=2π。第一題因此得解。最大速度應為 Rω，值為 24。最大加速度應該為 Rω²，為96。
我想，最大的問題應該出在最後一題。平衡點跟端點正中間要怎麼運算呢？請看下圖~
這樣，應該就簡單處理了吧？在平衡點與端點中間，θ值不會是介於0與90之間的45°，而是cos值為1/2的60°。這樣，應該就差不多了。
最後，告訴大家，水平跟鉛直的簡諧運動只有兩個差異，分別為:
★cos和sin互換
★θ值為零時，是位在平衡點，而非右端點
這樣，簡諧運動 Part1就告一段落了啊～寫了好久，做了好多研究，麻煩各位賜予我一點小支持，幫我分享，留言，並且記得用e-mail訂閱我的部落格喔，它會不定期更新。就這樣，謝謝各位，後會有期！
★定義：一個固定週期，固定振幅，受力方向恆指向中心點(平衡點)，且量值與離平衡點的位移成正比的直線週期運動，是等速圓周運動在直線上的投影。
回覆刪除改成這樣應該比較精確
我也這麼覺得!謝謝指導:)
刪除還有鉛直彈簧不會是SHM喔
回覆刪除只是很像而已